慢读数学书 一
我喜欢慢慢读数学书，不着急的心态，慢慢读过我想知道的章节。认真check清楚我不清楚的每一个细节。和一个数学家做过的比喻类似——时间和耐心对我来说，就像使用海水一样浸泡开复杂数学坚硬的外壳。只要达到足够的时机，他就会自动解开，为我呈上他的果肉。
最近在读数学书，后来发现纤维丛的地方有一些没搞清楚的地方。不得不退回去系统的看。用到了很多点集拓扑的内容。我决定一边整理我会用到的知识，一边写一下自己整理的内容。这些内容放在这里，也算是一个笔记，供自己以后翻阅。
我们知道，对于两个集合：A、B，我们会有很多映射f_i，当然这些f_i无论是单射还是满射。这时候我们说，通过两个集合A、B。我们得到了一组映射的集合{f_i}。
但是我们如果为两个集合A、B赋予拓扑结构，那么就会有很多映射f不再能够成为连续映射。但是这也带来了好消息，如果我们有拓扑空间A和拓扑空间B，那么我们就会有，或者说规定了一组连续映射{g_i}。这时候，我们也可以说，通过两个集合拓扑A、B，我们得到了一组连续映射{g_i}。
remark 1.1：连续映射的定义是任意开集的逆仍然是开集。当然，很容易验证这个定义跟任意闭集的逆仍然是闭集等价。
到此为止，我想到一个问题。当我学习到悬垂-环路对偶的时候，了解到环路空间Ω的定义：对于一个带点拓扑空间（X，x)，我们取一个带点环路(圆环)（S^1，s）。我们取全部的从S^1到X连续的，并且把s能够映射到x的映射{f_i}。这里{f_i}构成了一个集合，叫做环路空间ΩX。当然，我们研究同伦问题，只有集合空间是远远不够的，同伦问题是一个拓扑问题，所以说我们要为集合ΩX赋予拓扑结构，使他成为一个拓扑空间ΩX。这里我们为他赋予了一个关于映射的拓扑结构，叫做“紧开拓扑”。但我们为什么唯独要赋予这样的拓扑呢？我们关于映射集的拓扑其实有很多，比如“一致收敛拓扑”等等...。这其中的原因，目前我不并不是很清楚。
remark：紧开拓扑是在对于全部连续映射f_i：X \to Y，构成的空间{f_i}来说。如果把X上的紧集K映射到Y上开集U的全部映射叫记开集V(K,U)，那么把全部这些V(K_i,U_j)作当拓扑亚基生成的拓扑就叫做{f_i}的紧开拓扑。
那如果我有一个拓扑空间A，和一个映射f呢？如果我希望映射f能够成为连续映射，那么我们应该为B赋予什么样的拓扑呢？
最近在读数学书，后来发现纤维丛的地方有一些没搞清楚的地方。不得不退回去系统的看。用到了很多点集拓扑的内容。我决定一边整理我会用到的知识，一边写一下自己整理的内容。这些内容放在这里，也算是一个笔记，供自己以后翻阅。
我们知道，对于两个集合：A、B，我们会有很多映射f_i，当然这些f_i无论是单射还是满射。这时候我们说，通过两个集合A、B。我们得到了一组映射的集合{f_i}。
但是我们如果为两个集合A、B赋予拓扑结构，那么就会有很多映射f不再能够成为连续映射。但是这也带来了好消息，如果我们有拓扑空间A和拓扑空间B，那么我们就会有，或者说规定了一组连续映射{g_i}。这时候，我们也可以说，通过两个集合拓扑A、B，我们得到了一组连续映射{g_i}。
remark 1.1：连续映射的定义是任意开集的逆仍然是开集。当然，很容易验证这个定义跟任意闭集的逆仍然是闭集等价。
到此为止，我想到一个问题。当我学习到悬垂-环路对偶的时候，了解到环路空间Ω的定义：对于一个带点拓扑空间（X，x)，我们取一个带点环路(圆环)（S^1，s）。我们取全部的从S^1到X连续的，并且把s能够映射到x的映射{f_i}。这里{f_i}构成了一个集合，叫做环路空间ΩX。当然，我们研究同伦问题，只有集合空间是远远不够的，同伦问题是一个拓扑问题，所以说我们要为集合ΩX赋予拓扑结构，使他成为一个拓扑空间ΩX。这里我们为他赋予了一个关于映射的拓扑结构，叫做“紧开拓扑”。但我们为什么唯独要赋予这样的拓扑呢？我们关于映射集的拓扑其实有很多，比如“一致收敛拓扑”等等...。这其中的原因，目前我不并不是很清楚。
remark：紧开拓扑是在对于全部连续映射f_i：X \to Y，构成的空间{f_i}来说。如果把X上的紧集K映射到Y上开集U的全部映射叫记开集V(K,U)，那么把全部这些V(K_i,U_j)作当拓扑亚基生成的拓扑就叫做{f_i}的紧开拓扑。
那如果我有一个拓扑空间A，和一个映射f呢？如果我希望映射f能够成为连续映射，那么我们应该为B赋予什么样的拓扑呢？
私ついていくよどんな辛い世界の闇の中でさえきっとあなたは辉いて
